Формула Тейлора
Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора
Д1397г Вычислить $\sqrt{5}$ с точностью до $10^{-4}$.
Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{4+x}$ такую, что $f(1)=\sqrt{5}$.
Запишем остаточный член формулы Тейлора для $f(x)$ с центром в точке $x_0=0$ в форме Лагранжа. Для начала найдем
$$
f^{(n)}(x)=\left(\sqrt{4+x}\right)^{(n)}
= \left( \frac{1}{2}(4+x)^{-\tfrac{1}{2}}\right)^{(n-1)}=
$$
$$
=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot\ldots\cdot \left(-\frac{2n-3}{2}\right)\left(4+x\right)^{-n+\frac{1}{2}}=
\frac{(-1)^{(n-1)} (2n-3)!!}{2^n (4+x)^{n-\frac{1}{2}}}.
$$
Тогда при $x\in[0;1]$ остаток имеет вид
$$
r_{n-1}(x)=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}x^{n}=
\frac{(-1)^{(n-1)} (2n-3)!!}{2^n (4+\xi)^{n-\frac{1}{2}}\cdot n! }x^n,
$$
где $0<\xi<1$. Мы можем оценить величину его модуля следующим образом
$$
|r_{n-1}(x)|\leq \frac{(2n-3)!!}{2^n (4+\xi)^{n-\frac{1}{2}}\cdot n!}<\frac{(2n-3)!!}{2^n \cdot 4^{n-\frac{1}{2}}\cdot n!}=\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{1}{2^{2n+1}}.
$$
Поскольку
$$
\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}=\frac{1}{2}\frac{3}{4}\cdot \ldots \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{1}{2n}<\frac{1}{4n},
$$
мы можем утверждать, что
$$
|r_{n-1}(x)|<\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{2^{2n+3}}<10^{-4},
$$
если $n=5$. Таким образом, нужную нам точность при вычислении $f(1)=\sqrt{5}$ даст разложение Тейлора для $f(x)$ до $x^4$:
$$
f(x)\approx 2 \left(1+\frac{x}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=
$$
$$ =
2\left(
1+\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{4}
+ \frac{\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2}-1)}{2} \cdot \frac{x^2}{16}
+ \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{6} \cdot \frac{x^3}{64}+\right.
$$
$$ \left.
+ \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)(\frac{1}{2}-3)}{24} \cdot \frac{x^4}{256}
\right)=2+\frac{x}{4}-\frac{x^2}{64}+\frac{x^3}{512}-\frac{5x^4}{16384}.
$$
Тогда
$$
\sqrt{5}\approx 2 + \frac{1}{4}-\frac{1}{64}+\frac{1}{512}-\frac{5}{16384}=2.2360.
$$
Раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора
Д1400 Используя локальное разложение в окрестности нуля
$$
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n),
$$
вычислить предел
$$
L=\lim_{x\to +\infty} x^{\frac{3}{2}}\left(
\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}
\right).
$$
Запишем
$$
L=\lim_{x\to +\infty} x^{2}\left(
\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}-2
\right)=
$$
$$
=\lim_{x\to +\infty} x^{2}\left[
1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)+
1-\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)-2
\right]=
$$
$$
=\lim_{x\to +\infty} \frac{
-\frac{1}{4x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)
}{\frac{1}{x^2}}
=\lim_{x\to +\infty} \left[
-\frac{1}{4}+\frac{o\left(\frac{1}{x^2}\right)
}{\frac{1}{x^2}}
\right]
=-\frac{1}{4}.
$$
Домашняя работа
- Д1394вг, 1395, 1397бв.
- Д1399, Д1401-05.