Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя
Д1342 Определить значение выражения $$ \lim_{x\to +0} x^x. $$
Заметим, что $$ \lim_{x\to +0} x^x = \lim_{x\to +0} e^{x\ln{x}}. $$ В силу непрерывности функции $e^x$ достаточно найти предел $$ \lim_{x\to +0} x\ln{x}. $$ Для того, чтобы воспользоваться правилом Лопиталя, перепишем его в виде $$ \lim_{x\to +0} x\ln{x}=\lim_{x\to +0} \frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}}. $$ Тогда $$ \lim_{x\to +0} \frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} =-\lim_{x\to +0} x=0. $$ Следовательно, Заметим, что $$ \lim_{x\to +0} x^x = e^0=1. $$
Раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора
Д1400 Используя локальное разложение в окрестности нуля
$$
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n),
$$
вычислить предел
$$
L=\lim_{x\to +\infty} x^{\frac{3}{2}}\left(
\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}
\right).
$$
Запишем
$$
L=\lim_{x\to +\infty} x^{2}\left(
\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}-2
\right)=
$$
$$
=\lim_{x\to +\infty} x^{2}\left[
1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)+
1-\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)-2
\right]=
$$
$$
=\lim_{x\to +\infty} \frac{
-\frac{1}{4x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)
}{\frac{1}{x^2}}
=\lim_{x\to +\infty} \left[
-\frac{1}{4}+\frac{o\left(\frac{1}{x^2}\right)
}{\frac{1}{x^2}}
\right]
=-\frac{1}{4}.
$$
Домашняя работа
- Д1327-30, Д1332-33, Д1338-39, Д1348, Д1350.
- Д1401-1406а.