Поверхностные интегралы первого рода
Форма объема на сфере
Рассмотрим следующую параметризацию $$ x=a\sin{u}\sin{v}, y=a\cos{u}\sin{v}, z=a\cos{v} $$ двумерной сферы с центром в начале координат радиуса $a$.
Касательные векторы имеют координаты $$ r_u=(a\cos{u}\sin{v}, -a\sin{u}\sin{v}, 0), $$ $$ r_v=(a\sin{u}\cos{v}, a\cos{u}\cos{v}, -a\sin{v}). $$ Найдем коэффициенты $$ E=\left<r_u, r_u\right> = a^2 \sin^2{v}, F=\left<r_u, r_v\right> = 0, $$ $$ G=\left<r_v, r_v\right>= a^2. $$ Следовательно, форма объема имеет вид $$ d S = \sqrt{EG-F^2}\ du\wedge dv = a^2|\sin{v}| du\wedge dv. $$