Методы вычисления определенных интегралов
Аудиторные задачи
Д2281 С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра $n$, принимающего целые плоджительные значения. $$ I_n := \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$$
Решение Пусть $n>2$. Заметим, что в силу формулы интегрирования по частям, мы можем записать
$$
I_n = -\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x d\cos{x} = (n-1)\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2{x} dx=
$$
$$
= (n-1)\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x (1-\sin^2{x}) dx= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n.
$$
Таким образом, справедливо равенство $$ I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1) I_n, $$ эквивалентное рекуррентному соотношению $$ I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}. $$
Для чётных $n=2k$, $$ I_n=I_{2k}= \frac{2k-1}{2k} I_{2k-2}= \frac{2k-1}{2k}\frac{2k-3}{2k-2} I_{2k-4}=\ldots = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} I_{0} = \frac{(n-1)!!}{(n)!!} \frac{\pi}{2}. $$
Для нечётных $n=2k-1$, $$ I_n=I_{2k-1}= \frac{2k-2}{2k-1} I_{2k-3}= \frac{2k-2}{2k-1}\frac{2k-4}{2k-3} I_{2k-5}=\ldots = \frac{(2k-2)!!}{(2k-1)!!} I_{1} = \frac{(n-1)!!}{n!!}. $$
Домашняя работа
- Д2268-2280.
- Д2282, Д2284.