Несобственные интегралы
Аудиторные задачи
- Д2334, Д2335, Д2336, Д2338.
- Д2346, Д2348, Д2353а.
Д2353а Вычислить интеграл $$ I:=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{x}} dx. $$
Решение Сделаем в интеграле замену $t=2x$, при которой интервал $(0;\tfrac{\pi}{2}]$ переходит в интервал $(0;\pi]$, тогда $$ I =\tfrac{1}{2}\int_0^{\pi} \ln{\sin{\tfrac{t}{2}}} dt= \tfrac{1}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{\tfrac{t}{2}}} dt + \tfrac{1}{2}\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi} \ln{\sin{\tfrac{t}{2}}} dt. $$
Сделав во втором интеграле из последнего выражения сдвиг $x=t-\pi$, получим
$$
I= \tfrac{1}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{\tfrac{t}{2}}} dt + \tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{0} \ln{\sin{\tfrac{x+\pi}{2}}} dx =
$$
$$
= \tfrac{1}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{\tfrac{t}{2}}} dt + \tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{0} \ln{\cos{\tfrac{x}{2}}} dx =
$$
$$
= \tfrac{1}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{\tfrac{t}{2}}} dt + \tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{0} \ln{\cos{\tfrac{x}{2}}} dx.
$$
В силу чётности функции $\ln{\cos{\frac{x}{2}}}$ справедливо
$$
I=\tfrac{1}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{\tfrac{x}{2}}} dx + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\cos{\tfrac{x}{2}}} dx =
$$
$$
\tfrac{1}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{\tfrac{x}{2}}} dx + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\cos{\tfrac{x}{2}}} dx + \tfrac{1}{2} \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{2} dx - \tfrac{1}{2} \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{2} dx =
$$
$$
=\tfrac{1}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{x}} dx - \tfrac{\pi}{4}\ln{2}.
$$
Таким образом, соотношение $I=\tfrac{1}{2} I - \tfrac{\pi}{4}\ln{2}$ приводит к
$$
\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \ln{\sin{x}} dx = -\tfrac{\pi}{2}\ln{2}.
$$
Домашняя работа
- Д2337, Д2339, Д2341, Д2345, Д2347.
- Д2349, Д2353б.
Геометрические приложения интегралов
Домашняя работа
Задача. Студентка Екатерина, прогуливая матан, просверлила в шаре неизвестного радиуса круглое отверстие неизвестного диаметра. В результате получилась бусинка с цилиндрическим отверстием высоты $2h$. Помогите Екатерине найти объём бусинки.
