Контрольная работа N1
Задание 1а. Вычислить интеграл $$\int \frac{x^3-x-1}{x^4-1} dx.$$
Решение. С помощью метода неопределённых коэффициентов находим, что $$ \frac{x^3-x-1}{x^4-1}= -\frac{1}{4} \frac{1}{x-1} +\frac{1}{4} \frac{1}{x+1}+ \frac{1}{2} \frac{2x+1}{x^2+1}. $$
Тогда $$ \int \frac{x^3-x-1}{x^4-1}=-\frac{1}{4}\int \frac{dx}{x-1} +\frac{1}{4} \int \frac{dx}{x+1}+ \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+1}dx= $$ $$ =-\frac{1}{4}\ln{|x-1|}+\frac{1}{4}\ln{|x+1|}+\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}+ \frac{1}{2}\textup{arctg}\, x= $$ $$ =\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x+1}{x-1}\right|}+\frac{1}{2}\ln{(x^2+1)}+ \frac{1}{2}\textup{arctg}\, x + C. $$
Задание 1б. Вычислить интеграл $$\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} e^x \sin{x}\, dx.$$
Решение. Рассмотрим неопределенный интеграл $$ I = \int e^x \sin{x}\, dx. $$ Двойное применение формулы интегрирования по частям даёт $$ I = \int \sin{x}\, de^x = e^x \sin{x} - \int e^x \cos{x}\, dx = $$ $$ = e^x \sin{x} - e^x \cos{x} - \int e^x \sin{x}\, dx, $$ или более коротко $$ I=e^x(\sin{x} - \cos{x}) - I. $$
Откуда $$I=\frac{e^x(\sin{x} - \cos{x})}{2} + C.$$
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница $$ \int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} e^x \sin{x} \,dx= \left. \frac{e^x(\sin{x} - \cos{x})}{2} \right|_0^{\tfrac{\pi}{2}} =\frac{e^{\tfrac{\pi}{2}}+1}{2}. $$
Задание 2. Вычислить несобственный интеграл $$ \int_0^{+\infty} \frac{\textup{sh}\,{x}}{\textup{sh}\,{2x}} dx. $$
Решение. Заметим, что $$ \int_0^{+\infty} \frac{\textup{sh}\,{x}}{2\textup{sh}\,{x}\textup{ch}\,{x}} dx = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{2\textup{ch}\,{x}} = \int_0^{+\infty} \frac{\textup{ch}\,{x}\, dx}{2\textup{ch}^2\,{x}}= $$ $$ = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} \frac{d\textup{sh}\,{x}}{1+\textup{sh}^2\,{x}} = \frac{1}{2} \lim_{\xi \to +\infty} (\textup{arctg}\, \textup{sh}\,{\xi}) = \frac{\pi}{4}. $$
Задание 3. Исследовать интеграл $$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2{x}}{x^2} dx $$ на сходимость.
Решение. Заметим, что в силу первого замечательного предела интеграл имеет особенность только в верхнем предел интегрирования. Значит его сходимость равносильна сходимости интеграла $$ \int_1^{+\infty} \frac{\sin^2{x}}{x^2} dx. $$
Понижая степень синуса, мы получим $$ \int_1^{+\infty} \frac{\sin^2{x}}{x^2} dx=\frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{1-\cos{2x}}{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{dx }{x^2} - \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{\cos{2x}\, dx}{x^2}, $$ где первый интеграл в последнем выражении как известно сходится. Сходимость второго интеграла вытекает, например, из оценки $$ \left|\frac{\cos{2x}}{x^2} \right|\leq \frac{1}{x^2}, $$ справедливой на $[1;+\infty)$, и признака сравнения. Таким образом, исходный интеграл тоже сходится.
Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл $$ \int_0^{+\infty} \sin{x^3}\,dx. $$
Решение. Сделав в интеграле замену $t=x^3$, получим $$ \int_0^{+\infty} \sin{x^3}\,dx = \frac{1}{3}\int_0^{+\infty} \frac{\sin{t}}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt. $$
Поскольку функция $\sin{t}$ имеет ограниченную первообразную на $[0;+\infty)$, а функция $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ убывает на $(0;+\infty)$ и $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}\to 0$ при $t\to +\infty$, то по признаку Абеля-Дирихле интеграл $$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin{t}}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt $$ сходится. Следовательно, сходится и исходный интеграл.
Покажем, что интеграл не сходится абсолютно. В силу оценки $$ \frac{|\sin{t}|}{t^{\frac{2}{3}}} \geq \frac{\sin^2{t}}{t^{\frac{2}{3}}}, t\in(0;+\infty), $$ по признаку сравнения расходимость интеграла $\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2{t}}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt$ влечёт и расходимость интеграла $ \int_0^{+\infty} \frac{|\sin{t}|}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt$. Тогда исходный интеграл не сходится абсолютно, так как при этом он сходится, то он является условно сходящимся.
Итак, рассмотрим $\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2{t}}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt$ его сходимость эквивалентна сходимости интеграла $$ \int_1^{+\infty} \frac{\sin^2{t}}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt = \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{\cos{2t}}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt. $$ Воспользовавшись признаком Абеля-Дирихле, можно показать, что интеграл $\int_1^{+\infty} \frac{\cos{2t}}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt$ сходится. Тогда из расходимости интеграла $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{\frac{2}{3}}} $ вытекает расходимость $$ \int_1^{+\infty} \frac{\sin^2{t}}{t^{\frac{2}{3}}}\,dt. $$