Замена переменных
Демидович 3481 Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ выражение $$ w = x \frac{\partial u}{\partial y} - y \frac{\partial u}{\partial x}. $$
Матрица Якоби полярной замены координат $x= r \cos{\varphi}$, $y = r\sin{\varphi}$ имеет вид
$$
\Pi(r,\varphi) = \left(
\begin{array}{cr}
\cos{\varphi} & -r \sin{\varphi} \\
\sin{\varphi} & r \cos{\varphi} \\
\end{array}
\right),
\ \det \Pi(r, \varphi) = r.
$$
Тогда дифференциал этого отображения переводит касательный вектор $(dr, d\varphi)$ в вектор
$$
\left( \begin{array}{c} dx \\ dy\end{array}\right) =
\left(
\begin{array}{cr}
\cos{\varphi} & -r \sin{\varphi} \\
\sin{\varphi} & r \cos{\varphi} \\
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{c} dr \\ d\varphi\end{array}\right) =
\left( \begin{array}{c} \cos{\varphi} dr - r \sin{\varphi} d\varphi \\
\sin{\varphi} dr + r \cos{\varphi} d\varphi
\end{array}\right).
$$
Записав дифференциал функции $u$:
$$
du(r,\varphi) =
\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{cr}
\cos{\varphi} & -r \sin{\varphi} \\
\sin{\varphi} & r \cos{\varphi} \\
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{c} dr \\ d\varphi\end{array}\right) =
\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial r} & \frac{\partial u}{\partial \varphi} \end{array}\right)
\left( \begin{array}{c} dr \\ d\varphi\end{array}\right),
$$
мы приходим к соотношению
$$
\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{cr}
\cos{\varphi} & -r \sin{\varphi} \\
\sin{\varphi} & r \cos{\varphi} \\
\end{array}
\right) =
\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial r} & \frac{\partial u}{\partial \varphi} \end{array}\right).
$$
Из него находим, что
$$
\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\end{array}\right) =
\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial r} & \frac{\partial u}{\partial \varphi}\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{cr}
\cos{\varphi} & -r \sin{\varphi} \\
\sin{\varphi} & r \cos{\varphi} \\
\end{array}
\right)^{-1} =
\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial r} & \frac{\partial u}{\partial \varphi}\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{cr}
\cos{\varphi} & \sin{\varphi} \\
-\frac{\sin{\varphi}}{r} & \frac{\cos{\varphi}}{r} \\
\end{array}
\right).
$$
Тогда искомое выражение принимает вид
$$
w = r \cos{\varphi}\left(\sin{\varphi} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos{\varphi}}{r} \frac{\partial u}{\partial \varphi} \right)
- r \sin{\varphi} \left(\cos{\varphi} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{\sin{\varphi}}{r} \frac{\partial u}{\partial \varphi} \right) = \frac{\partial u}{\partial \varphi}.
$$
Домашняя работа
- Д3458, Д3459.
- Д3484, Д3485.
- Д3501, Д3502.