Числовые ряды
Демидович 2553 Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin{nx}$.
Решение Заметим, что для $x=\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, сумма ряда очевидно нулевая.
Докажем, что для $x\neq \pi k$ ряд расходится. В силу периодичности и нечетности функции $\sin{t}$
достаточно рассмотреть $x\in(0,\pi)$. Докажем, что для такого выбора
$$
\lim_{n\to\infty} \sin{nx} \neq 0.
$$
Для этого подберем $\delta\in(0;1)$ таким образом, чтобы при фиксированным обозначенным образом $x$
неравенству
$$
\sin{nx}\geq \delta
$$
удовлетворяло бесконечно много $n\in\mathbb{N}$. Решение этого неравенства
имеет вид
$$
\frac{2\pi l + \arcsin{\delta}}{x}\leq n \leq \frac{(\pi-\arcsin{\delta})+2\pi l}{x},\ l \in \mathbb{Z}.
$$
Длина этого отрезка
$$
\frac{(\pi-\arcsin{\delta})+2\pi l}{x} - \frac{2\pi l + \arcsin{\delta}}{x}=
$$
$$
=\frac{\pi-2\arcsin{\delta}}{x}>1,
$$
если для $\delta$ выполняется условие
$$
0< \arcsin{\delta}< \frac{\pi-x}{2}.
$$
Очевидно, что для всякого $x\in(0;\pi)$ существует $\delta$ удовлетворяющее этому условию.
Поэтому для всякого $l\in\mathbb{N}$ в рассматриваемом отрезке найдется натуральное число $n_l$.
Таким образом, для всех $l\in\mathbb{N}$ имеем, что
$$
\sin{n_l x}\geq \delta.
$$
Откуда вытекает, что последовательность $\{\sin{nx} \}$ содержит подпоследовательность, которая не
является бесконечно малой. Поэтому и сама $\{\sin{nx} \}$ не является бесконечно малой.
Тем самым мы показали, что при $x\neq \pi k$ не выполняется необходимое условие сходимости ряда Следовательно, исследуемый ряд расходится для таких $x$.
Домашняя работа
- Д2547, Д2549, Д2550, Д2552.
- Д2573, Д2574, Д2577.