Бета-функция
Разбор домашней работы
Задача. (Демидович, 3868) Вычислить интеграл $$ \int_0^1 \ln{\Gamma(x)}dx. $$ Решение. Сделаем в интеграле замену $x\mapsto 1-x:$ $$ \int_0^1 \ln{\Gamma(x)}dx=\int_1^0 \ln{\Gamma(1-x)} (-dx)=\int_0^1 \ln{\Gamma(1-x)}dx. $$ Тогда от интеграла $$ 2\int_0^1 \ln{\Gamma(x)}dx= \int_0^1 \ln{\Gamma(x)}dx+\int_0^1 \ln{\Gamma(1-x)}dx=\int_0^1 \ln{\Gamma(x)\Gamma(1-x)}dx, $$ используя формулу дополнения, приходим к интегралу $$ 2\int_0^1 \ln{\Gamma(x)}dx=\int_0^1 \ln{\frac{\pi}{\sin{\pi x}}} dx =\int_0^1 \ln{\pi} dx - \int_0^1 \ln{\sin{\pi x}} dx. $$ Следовательно, $$ \int_0^1 \ln{\Gamma(x)}dx=\frac{1}{2}\ln{\pi} - \frac{1}{2}\int_0^1 \ln{\sin{\pi x}} dx. $$ Сделаем замену $\pi x \mapsto x$ в интеграле $$ \int_0^1 \ln{\sin{\pi x}} dx=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \ln{\sin{x}}dx. $$ Далее, используя интегралы из Д2353, $$ \int_0^{\pi} \ln{\sin{x}}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{\sin{x}}dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln{\sin{x}}dx= $$ $$ =-\frac{\pi}{2}\ln{2}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin(x+\frac{\pi}{2}) d(x+\frac{\pi}{2})= $$ $$ =-\frac{\pi}{2}\ln{2}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos{x} dx=-\frac{\pi}{2}\ln{2}-\frac{\pi}{2}\ln{2}=-\pi\ln{2}. $$ В конечном итоге $$ \int_0^1 \ln{\Gamma(x)}dx=\frac{1}{2}\ln{\pi}+\frac{1}{2}\ln{2}=\ln{\sqrt{2\pi}}. $$
Домашняя работа
- Д3851, Д3852, Д3853.