Суммирование, метод математической индукции. Бином Ньютона.

Домашняя работа

  1. Доказать методом математической индукции, что $$1^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$$ для всех $n$ натуральных.
  2. Найти сумму $$\sum_{k=1}^{n} k^3,$$ где $n\in\mathbb{N}.$
  3. Найти сумму $$\sum_{k=1}^{n} \tfrac{1}{n(n+1)},$$ где $n\in\mathbb{N}.$
  4. Написать формулу бинома Ньютона для $$(1+x)^5, (a+b)^6, (x+y)^7, (a-b)^8.$$
  5. Найти член разложения $\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$, содержащий $x^3$.
  6. Найти коэффициент многочлена:
    1. $(1-x+x^2)^3$ при $x^3$;
    2. $(1+2x-3x^2)^4$ при $x^3$ и $x^4$;
    3. $(1+x^2-x^3)^9$ при $x^8$;
    4. $\sum_{k=3}^{15}(1+x)^k$ при $x^3$.