Сравнение функций
$O$-символика
Д646а Докажите, что $o(o(f(x)))=o(f(x))$ при $x\to a$, где $f(x)>0.$
Доказательство. Пусть функция $h(x)=o(o(f(x)))$ при $x\to a$. По определению существует проколотая окрестность ${U}_1^\circ(a)$ такая, что в ней выполняется равенство $$ h(x)=\alpha_1(x)g(x), $$ где $\alpha_1(x)$ является бесконечно малой функцией, а $g(x)=o(f(x))$ при $x\to a$. Для функции $g(x)$ существует некоторая проколотая окрестность $U_2^{\circ}(a)$, в которой $g(x)=\alpha_2(x)f(x)$, где $\alpha_2(x)\to 0$ при $x\to a$.
Тогда в пересечении $U_1^{\circ}(a)\cap U_2^{\circ}(a)$ справедливо представление $$ h(x)=\alpha_1(x)\alpha_2(x)f(x). $$ Поскольку произведение $\alpha_1(x)\alpha_2(x)\to 0$ при $x\to a$, мы заключаем, что $$ h(x)=o(f(x)) $$ при $x\to a$.
Домашняя работа
- Д646бг, Д647в, Д648.
- Д650, Д651.