Контрольная работа N1
Обобщенные результаты
Непрерывность функций
Д674в Доказать, что функция $x^3$ непрерывна на $\mathbb{R}.$
Пусть $x_0\in \mathbb{R}$. Рассмотрим величину $$ |x^3-x_0^3|=|((x-x_0)+x_0)^3-x_0^3|=|(x-x_0)^3+3x_0 (x-x_0)^2+3x_0^2(x-x_0)|\leq $$ $$ \leq |x-x_0|^3+3|x_0||x-x_0|^2+3 |x_0|^2 |x-x_0| < \delta^3+3|x_0|\delta^2+3 |x_0|^2 \delta = \varepsilon $$ Найдем значение $\delta$ из уравнения $$ \delta^3+3|x_0|\delta^2+3 |x_0|^2 \delta = \varepsilon, $$ $$ \delta^3+3|x_0|\delta^2+3 |x_0|^2 \delta +|x_0|^3= \varepsilon+|x_0|^3, $$ $$ (\delta+|x_0|)^3=\varepsilon+|x_0|^3, $$ $$ \delta=\sqrt[3]{\varepsilon+|x_0|^3}-|x_0|>0. $$ Таким образом, величина $|x^3-x_0^3|<\varepsilon$, если $x\in \mathbb{R}$ такой, что $|x-x_0|<\delta=\sqrt[3]{\varepsilon+|x_0|^3}-|x_0|.$ Поэтому функция $x^3$ непрерывна в точке $x_0\in\mathbb{R}$. Поскольку точка произвольная, то $x^3\in C(\mathbb{R}).$
Домашняя работа
- Д664, Д667.
- Д674гдежз.