Замена переменных в тройном интеграле
Д4087 Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл $$ I = \iiint_V \sqrt{x^2+y^2+z^2} dxdydz, $$ где область $V$ ограничена поверхностью $x^2+y^2+z^2=z$.
Рассмотрим сферическую замену $$ x=\rho \cos{\varphi} \sin{\psi}, y= \rho \sin{\varphi} \sin{\psi}, z=\rho \cos{\psi}, $$ где $\psi$ является наименьшим углом (угол $\theta$ по ссылке) между положительным направлением оси $z$ и радиус-вектором точки $(x,y,z)$, а $\varphi$ есть наименьший угол между положительным направлением оси $x$ и радиус-вектором точки $(x,y,0)$. Определитель её матрицы Якоби равен $$ J=\rho^2 \sin{\psi}. $$
Область $V$ представляет собой шар с центром в точке $(0,0,\frac{1}{2})$ радиуса $\frac{1}{2}$. В сферических координатах она задаётся условиями $0\leq \rho \leq \cos{\psi}$, $0\leq \psi \leq \frac{\pi}{2}$ и $0\leq \varphi \leq 2\pi$.
После замены по теореме Фубини получаем $$ I = \left(\int_0^{2\pi} d\varphi\right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{\psi} \ d\psi \int_0^{\cos{\psi}} \rho^3 d\rho\right) = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^4{\psi}\sin{\psi}}{4}d\psi = \frac{\pi}{10}. $$