Равномерная непрерывность
Определение равномерной непрерывности
Функция $f(x)$ называеся равномерно непрерывной на множестве $M$ тогда и только тогда, когда выполняется условие $$ \forall \varepsilon >0 \exists \delta>0 \forall x', x''\in M: |x'-x''|<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon. $$
Запишем отрицание условия равномерной непрерывности функции $f(x)$ на множестве $M$: $$ \exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x', x''\in M: |x'-x''|<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|\geq \varepsilon. $$
Примеры
Д790 Показать, что функция $f(x)=\sin{x^2}$ непрерывна и ограничена на $\mathbb{R}$, но не является равномерно непрерывной на этом множестве.
Функция является непрерывной как элементарная функция на своей области определения. Ограниченность очевидна.
Рассмотрим две бесконечно большие числовые последовательности $$ x'_n=\sqrt{\pi n}, x''_n=\sqrt{\pi n + \frac{\pi}{2}}. $$
Заметим, что их разность $$ 0<x''_n - x'_n = x'_n=\sqrt{\pi n + \frac{\pi}{2}}-\sqrt{\pi n}=\frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\pi n + \frac{\pi}{2}}+\sqrt{\pi n}}\to 0 $$ при $n\to +\infty$. Следовательно, для любого $\delta >0 $ найдутся такие члены этих последовательностей $x'_N$, $x''_N$, $$ 0<x''_N - x'_N<\delta. $$ При этом величина $$ |f(x''_N)-f(x'_N)|=|\sin{\left(\pi n+\frac{\pi}{2}\right)}-\sin{\pi n}|=1=:\varepsilon. $$ Таким образом, выполняется отрицание условия равномерной непрерывности.
Д793 Является ли равномерно непрерывной функция $f(x)=x^2$ на а) интервале $(-l;l)$, где $l$ есть любое положительное число; б) на множестве $\mathbb{R}$.
а) Пусть $x',x'' \in (-l;l)$, тогда величина $$ |(x')^2-(x'')^2|=|(x'-x'')(x'+x'')|\leq |x'-x''|(|x'|+|x''|)< 2l |x'-x''|< \varepsilon, $$ если $|x'-x''|<\delta := \frac{\varepsilon}{2}.$ Условие равномерной непрерывности выполняется.
б) Рассмотрим две бесконечно большие последовательности $x'_n=\sqrt{n+1}, x''_n=\sqrt{n}\in \mathbb{R}$, при любом $n\in \mathbb{N}$ $$ |(x'_n)^2-(x''_n)^2|=|(n+1)-n|=1. $$ В силу того, что $x'_n - x''_n \to 0$ при $n\to +\infty$, выполняется отрицание условия равномерной сходимости.
Домашняя работа
- Д786, Д788, Д789, Д792.
- Д794.