Исследование функций на непрерывность
Разбор домашней работы
Д674з Докажем, что функция $f(x)=\textup{arctg}{(x)}$ является непрерывной на $\mathbb{R}$.
Пусть точка $x_0> 0$. Тогда при $x x_0>-1$ справедливо тождество $$ \textup{arctg}(x)-\textup{arctg}{(x_0)}=\textup{arctg}\frac{x-x_0}{1+xx_0}. $$
Для любого $\varepsilon>0$ выберем $\delta:=\min(x_0, \varepsilon)$. Если $|x-x_0|<\delta$, то $$ |\textup{arctg}(x)-\textup{arctg}{(x_0)}|=\left|\textup{arctg}\frac{x-x_0}{1+xx_0}\right|. $$
Заметим, что при $|\alpha|<\frac{\pi}{2}$ справедливо неравенство $|\alpha|\leq|\textup{tg}(\alpha)|$, из которого при замене $\alpha=\textup{arctg}(a)$ вытекает $$ |\textup{arctg}(a)|\leq |a|. $$ Поэтому при $|x-x_0|<\delta$ $$ |\textup{arctg}(x)-\textup{arctg}{(x_0)}|\leq \left|\frac{x-x_0}{1+xx_0}\right|<|x-x_0|<\delta\leq \varepsilon. $$ Таким образом, функция непрерывна в точке $x_0>0$. Поскольку функция $\textup{arctg}{(x)}$ нечётна, то она непрерывна и в любой точке $x_0<0$.
Отметим, что функция непрерывна и в точке $x_0=0$, так как $$ |\textup{arctg}(x)|\leq |x|<\delta:=\varepsilon. $$
Равномерная непрерывность
Определение равномерной непрерывности
Функция $f(x)$ называеся равномерно непрерывной на множестве $M$ тогда и только тогда, когда выполняется условие $$ \forall \varepsilon >0 \exists \delta>0 \forall x', x''\in M: |x'-x''|<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon. $$
Запишем отрицание условия равномерной непрерывности функции $f(x)$ на множестве $M$: $$ \exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x', x''\in M: |x'-x''|<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|\geq \varepsilon. $$
Примеры
Д793 Является ли равномерно непрерывной функция $f(x)=x^2$ на а) интервале $(-l;l)$, где $l$ есть любое положительное число; б) на множестве $\mathbb{R}$.
а) Пусть $x',x'' \in (-l;l)$, тогда величина $$ |(x')^2-(x'')^2|=|(x'-x'')(x'+x'')|\leq |x'-x''|(|x'|+|x''|)< 2l |x'-x''|< \varepsilon, $$ если $|x'-x''|<\delta := \frac{\varepsilon}{2}.$ Условие равномерной непрерывности выполняется.
б) Рассмотрим две бесконечно большие последовательности $x'_n=\sqrt{n+1}, x''_n=\sqrt{n}\in \mathbb{R}$, при любом $n\in \mathbb{N}$ $$ |(x'_n)^2-(x''_n)^2|=|(n+1)-n|=1. $$ В силу того, что $x'_n - x''_n \to 0$ при $n\to +\infty$, выполняется отрицание условия равномерной сходимости.
Домашняя работа
- Д678, Д679, Д680, Д682, Д690, Д702.
- Д786, Д788, Д789, Д790, Д794.