Производная функции
Разбор домашней работы
Д794 Исследовать на равномерную непрерывность функцию $$ f(x)=\frac{x}{4-x^2} $$ на множестве $M=[-1;1]$.
Пусть $x_1,x_2\in [-1;1]$. Тогда справедлива оценка $$ |f(x_1)-f(x_2)|=\left| \frac{x_1}{4-x_1^2} - \frac{x_2}{4-x_2^2}\right| =\left| \frac{(x_1-x_2)(4+x_1x_2)}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}\right|\leq $$ $$ \leq \frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}|x_1-x_2|\leq \frac{5}{9}|x_1-x_2|. $$ Если $\delta := \varepsilon$, то при $|x_1-x_2|<\delta$ выражение $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$. Следовательно, функция равномерно непрерывна на $M$.
Определение производной
Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x$. Тогда предел $$ f'(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ называется производной фукнции $f$ в точке $x.$
Домашняя работа
- Д798, Д799, Д800.
- Д828жик, 829.