Основные правила дифференцирования. Вычисление производных
Разбор домашней работы
Д831 Найти $f'(1)$, если $$ f(x)=x+(x-1)\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}. $$
По определению $$ f'(1)=\lim_{h\to\infty} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to\infty} \frac{1+h + h\arcsin\sqrt{\frac{1+h}{2+h}}-1}{h}= $$ $$ =\lim_{h\to\infty} \frac{h + h\arcsin\sqrt{\frac{1+h}{2+h}}}{h}=\lim_{h\to\infty} \left(1 + \arcsin\sqrt{\frac{1+h}{2+h}}\right)= $$ $$ =1+\arcsin\sqrt{\frac{1}{2}}=1+\frac{\pi}{4}, $$ поскольку $\arcsin{x}$ является непрерывной функцией на отрезке $[-1;1]$.
Домашняя работа
- Д885-970 (11 штук).
- Д984, Д985, Д986.