Дифференциал функции
Аудиторная работа
Д1104.1 Доказать приближённую формулу $$ \sqrt{a^2+x} \approx a + \frac{x}{2a}\ (a>0), $$ где $x$ весьма мало по сравнению с $a$.
Рассмотрим дифференцируемую функцию $$ f(x)=\sqrt{a^2+x}. $$ При $|x|<<a$ приращение этой функции в точке $0$ приближается значением дифференциала в точке $0$, поэтому $$ \sqrt{a^2+x}\approx a+ df(0)(x)= a + \left.\frac{1}{2\sqrt{a^2+x}}\right|_{x=0}\cdot x=a+\frac{x}{2a}. $$ В частности, $$ \sqrt{5}=\sqrt{(2.2)^2+0.16}\approx 2.2 + \frac{0.16}{4.4}=2.2+0.036(36)=\underline{2.236}(36). $$
Д1104.2 Доказать, что $\sqrt{a^2+x}=a+\frac{x}{2a}-r,\ (a>0, x>0),$ где $0<r<\frac{x^2}{8a^3}.$
Заметим, что $$ r = \frac{x}{2a}+a-\sqrt{a^2+x}=\frac{x}{2a}-\frac{x}{a+\sqrt{a^2+x}}= $$ $$ x\frac{a+\sqrt{a^2+x}-2a}{2a(a+\sqrt{a^2+x})}=x\frac{\sqrt{a^2+x}-a}{2a(a+\sqrt{a^2+x})} =\frac{x^2}{2a(a+\sqrt{a^2+x})^2}. $$ Тогда при положительных $x$ справедлива оценка $$ 0<r<\frac{x^2}{8a^3}. $$ Погрешность при приближенном вычислении $\sqrt{5}$ в Д1104.1 удовлетворяет неравенству $$ r<\frac{(0.16)^2}{8\cdot (2.2)^3}=\frac{2^8\cdot 10^{-4}}{2^6\cdot (1.1)^3}<4 \cdot 10^{-4}, $$ то есть мы вычислили $\sqrt{5}$ с точностью до третьего знака после запятой.
Домашняя работа
- Д1084, Д1088, Д1089.
- Д1090и, Д1094, Д1095, Д1097, Д1105.