Предел последовательности
Разбор домашней работы
Точная верхняя и нижняя грани
Д19а. Докажем, что $\inf{(X+Y)} = \inf X+\inf Y$, где множество $X+Y$ состоит из всевозможных сумм вида $x+y$, где $x\in X$ и $y\in Y$.
Предположим, что $i_X = \inf X$, $i_Y=\inf Y$. По определению точной нижней грани, во-первых, для всех $x\in X$ справедливо $i_X\leq x$ и для всех $y\in Y$ справедливо $i_Y\leq y.$ Складывая эти два неравенства, получим, что для всех $x\in X$ и $y\in Y$ выполняется неравенство $$ i_X+i_Y \leq x+y. $$ Иными словами, всякий элемент из $X+Y$ не меньше чем сумма $i_X+i_Y.$
Во-вторых, для всякого $\varepsilon >0$ найдутся $x_\varepsilon\in X$ и $y_\varepsilon \in Y$ такие, что $$ x_\varepsilon < i_X + \frac{\varepsilon}{2},\ y_\varepsilon < i_Y + \frac{\varepsilon}{2}. $$ Откуда $x_\varepsilon + y_\varepsilon < i_X+i_Y + \varepsilon.$ Таким образом, если мы увеличим число $i_X+i_Y$ на сколь угодно малую положительную константу, то во множестве $X+Y$ найдется элемент, который будет строго меньше чем это увеличенное значение. Следовательно, $i_X+i_Y=\inf{(X+Y)}.$
Предел числовой последовательности
$$ \lim_{n\to\infty} a_n=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0\ \exists N=N(\varepsilon)\ \forall n> N\ (|a_n-a|<\varepsilon). $$
Домашняя работа
- Д18, Д20.
- Д21, Д22-27.
- Д41.