Предел функции
Точная нижняя и верхняя грань функции
Число $i=\sup_{x\in X} f(x)$ тогда и только тогда, когда
- $\forall x\in X$ значение $f(x)\geq i$.
- $\forall \varepsilon>0$ $\exists x_\varepsilon \in X$ $\left(f(x_\varepsilon)<i+\varepsilon\right)$.
Число $s=\sup_{x\in X} f(x)$ тогда и только тогда, когда
- $\forall x\in X$ значение $f(x)\leq s$.
- $\forall \varepsilon>0$ $\exists x_\varepsilon \in X$ $\left(f(x_\varepsilon)>s-\varepsilon\right)$.
Точная верхняя грань $\sup_{x\in X} f(x)=+\infty$ тогда и только тогда, когда $$ \forall \varepsilon > 0 \exists x' \in X \left(f(x)>\frac{1}{\varepsilon}\right). $$ Из этого условия вытекает, что функция $f$ является неограниченной на $X$.
Домашняя работа
- Д390, Д391, Д392, Д394, Д400.
- Д405, Д406.