Вычисление пределов
Разбор домашней работы
Д428 Найдите предел (ниже $n,m\in\mathbb{N}$) $$\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right).$$
Рассмотрим $$ \frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}=\frac{m(1+x+\ldots+x^{n-1})-n(1+x+\ldots+x^{m-1})}{(1-x)(1+x+\ldots+x^{m-1})(1+x+\ldots+x^{n-1})}= $$ $$ =\frac{m(n+(x-1)+\ldots+(x^{n-1}-1))-n(m+(x-1)+\ldots+(x^{m-1}-1))}{(1-x)(1+x+\ldots+x^{m-1})(1+x+\ldots+x^{n-1})}= $$ $$ =\frac{m((x-1)+\ldots+(x^{n-1}-1))-n((x-1)+\ldots+(x^{m-1}-1))}{(1-x)(1+x+\ldots+x^{m-1})(1+x+\ldots+x^{n-1})}. $$ Поскольку для $l\in\mathbb{N}$ справедлива формула $$ \frac{x^l-1}{x-1}=1+x+\ldots+x^{l-1} $$ суммы геометрической прогрессии, получаем $$ \lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)=\frac{m(1+\ldots+(n-1))-n(1+\ldots+(m-1))}{-mn}= $$ $$ =\frac{m(n-1)n-n(m-1)m}{-2mn}=\frac{m-n}{2}. $$
Домашняя работа
- Д436, Д438, Д440б Д442, Д451,Д452.
- Д476, Д477, Д482.